椭圆周长没有一个能用初等函数精确表示的简单公式这是人所共知的。其精确表达式是一个叫做第二类完全椭圆积分的形式其中和分别为椭圆的长半轴和短半。首先我们看也就是圆的情况长轴和短轴不相等的时候前面的系数被积函数积分结果已知三角函数角度的意义代入到这一步可以看出椭圆的椭性指的是两个系统各自给出横向和纵向两个部分现在假定若要将两个系统整合若假定,如果两者都不同这说明一个椭圆指的是具有两种单位系统的增长函数各自提供到当前周期中虚数单位的奇数幂次和偶数幂次对应的层次上的投射形成的综合效果。两者单位之差为。也就是说一个椭圆并不是一个单一的增长系统而是两个增长系统假合的结果。考虑到大多数已知天体运行的轨道都是椭圆有理由认为大多数已知天体的运行都受着步进速率不同的两种增长系统共同支配。把代入三角函数形式也可以认为椭圆的周长是对于对应的圆的周长单位的相位错移累加之后的结果。