有了这些认识我们看欧拉恒等式它实际上就是我们知道也就是说指数使得指数变成了分数并且结果取了负值。虚数单位对于单位1的幂次能够起到取倒数的作用并且能够限制结果为负数这相当于它是一种通过乘法实现的函数这就给出了虚数单位的另一个定义。回到如果单位换成,按照这个模式如果则有其中为单位的实际数值。这就给出了广义虚数单位的定义由此欧拉方程其中的角度的含义就由π和2的对应关系决定了其中表示一个0到2之间的比率它的一半表示0到1之间的比率欧拉函数就是把一个0到2之间的比率膨胀到一个角度数值再通过将数值映射回实数空间。当当我们使用不同的单位的时候可见对于同一个数值作为实数处理和作为虚数处理的方式截然不同。观察三角函数的泰勒展开式可见正弦和余弦两个三角函数就是把一个膨胀为0到之间的0到2之间的比率分别投射到四个区间上的过程并保证这四个区间是完全不交叠的而且给出了四个区间中区间内部的具体位置。比如总是可以把四个区间的每一个区间再细分为四个区间并且可以无限细分下去而所有细分的四个区间都可以在两个方向上对齐这就构成了可以描述四个区间的二维坐标。比如所有中的表达了对应区间的二分层次而阶乘表达了对应层次上的权重。余弦函数也是如此。·这里必须写是因为它表示的是系统之间的单位的比率而不是系统之内的坐标位置。在平面上需要两个参数定位一个位置或者用和或者用和我们假定用和那么这说明决定了两个系统之间单位的比率0到1体现为0到0到2体现为0到0到4体现为0到。这里的比率指的是幂次也就是0次幂到四次幂。由此系统1的长度在系统2上的横向和纵向两个方向上的投射为所以这类投射旋转实际上就是两个系统的单位之间具有虚数单位幂次的比率产生的效果。如果系统1的和系统2的单位比率相对匀速提升则两个系统会产生相对转动的表象但这个表象并不依赖于外力的输入。就像两个频率的系统之间会出现稳定的频差增长但并不需要主动增加能量而提升频率。假定存在点相对于原点存在我们可以通过坐标求取它的方向角度以及向量长度然后求得它的角度对应的系统平面以及在系统平面上的位置这个过程就是将二维平面上的点一维化的过程。通过这种方式可以将任意维数上的任意坐标一维化也就是说把一切都放在一条线上。这就像无论多少维的数组都可以放在统一编址的线性内存里。将任意相邻两维缩并的过程就叫降维过程。要实现降维首先需要看得见不等于1的单位这里的是一个不等于1的比率也就是说首先要意识到不同的系统可以具有不同的单位或者虚数单位其次是可以修改自身的单位使得自身的单位足够处理被降维系统的维数需求。