1. 傅里叶级数的基本概念将以时间为变量的函数时域信号变换为以频率为变量的函数频域表示即从“时间域”到“频率域”的转换。傅里叶级数Fourier Series描述的核心现象是任何周期函数都可以用一组正弦函数sine和余弦函数cosine构成的无穷级数来表示。2. 方波信号的傅里叶级数展开示例以方波square wave为例其基频为 F。根据傅里叶级数理论该方波可由一系列频率为 F 的整数倍的正弦/余弦函数叠加逼近。关键观察所讨论的方波关于 y 轴对称即偶函数因此只包含余弦项cosine terms不含正弦项sine terms。进一步分析发现该方波还具有半波反对称性odd harmonic symmetry导致偶次谐波的系数为零。仅奇次谐波1F, 3F, 5F, 7F, …存在非零幅度。叠加更多奇次谐波后合成波形越来越接近原始方波随着叠加的谐波数量趋于无穷合成信号将无限逼近原始方波。高频分量的幅度逐渐减小即高频贡献较小。3. 傅里叶级数的一般数学表达式一般周期函数 f(t)的傅里叶级数展开式为其中ω02πFF 是基波角频率an 和 bn分别是余弦项和正弦项的幅度系数系数可通过积分公式计算。对于所讨论的偶函数方波所有 bn0无正弦项所有偶数n 对应的 an0仅奇数n对应的 an≠0且随 n增大而减小。4. 系统响应与线性系统的叠加原理若将周期信号输入一个线性系统Linear System其输出响应等于各个傅里叶分量正弦/余弦分别输入系统后所得响应的叠加。此结论依赖于系统的线性与时不变性LTI, Linear Time-Invariant。实际中多数系统在小信号条件下可近似为线性系统。因此研究复杂周期信号的系统响应可转化为研究各频率分量的响应若所有频率分量的输出均稳定 → 整个信号输出稳定。这正是从时域分析转向频域分析的核心动机。5. 频域表示幅度谱与相位谱傅里叶级数不仅提供幅度信息还包含相位信息。对于每个频率分量 nF需两个参数描述幅度Amplitude→ 构成幅度谱Magnitude Spectrum相位Phase→ 构成相位谱Phase Spectrum。对所讨论的方波幅度谱仅在奇次谐波1F, 3F, 5F, …处有非零值幅度随频率升高而衰减偶次谐波2F, 4F, …幅度为零。相位谱所有存在的奇次谐波相位为0偶次谐波虽幅度为零但若考虑其相位则为π180°不过因幅度为零实际不影响合成结果。6. 周期信号频谱的离散特性周期信号的频谱是离散的Discrete能量仅集中在基频的整数倍处即谐波频率幅度谱和相位谱均由一系列离散的谱线spectral lines组成。这与非周期信号的连续频谱形成对比。因此周期函数的傅里叶级数天然对应离散频谱。