为什么内积为零时，向量垂直

这是一个非常经典的数学问题。这页教科书看起来涉及线性代数或泛函分析实际上是在做一个推广定义 (Definition): 书中公式 (1) 定义了n nn维空间中两个向量的代数内积( x ⋅ y ) ∑ x i y i (x \cdot y) \sum x_i y_i(x⋅y)∑xi​yi​。推广: 它接着定义当这个代数内积为 0 时我们称这两个向量垂直正交。你问的是“为什么”。也就是说为什么∑ x i y i 0 \sum x_i y_i 0∑xi​yi​0这个代数式子能代表几何上的“垂直” (90 ∘ 90^{\circ}90∘)为了证明这一点我们需要回到我们拥有几何直观的 2维或3维欧几里得空间利用余弦定理 (Law of Cosines) 来建立“代数定义”与“几何角度”之间的联系。以下是证明过程1. 建立几何模型假设有两个非零向量x \boldsymbol{x}x和y \boldsymbol{y}y它们的夹角为θ \thetaθ。我们可以构造一个三角形其三条边分别为向量x \boldsymbol{x}x、y \boldsymbol{y}y以及连接它们端点的向量x − y \boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}x−y。2. 利用几何学上的“余弦定理”在几何学中对于这个三角形边长的关系满足余弦定理∣ x − y ∣ 2 ∣ x ∣ 2 ∣ y ∣ 2 − 2 ∣ x ∣ ∣ y ∣ cos ⁡ θ ......(式 A) |\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}|^2 |\boldsymbol{x}|^2 |\boldsymbol{y}|^2 - 2|\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}|\cos\theta \quad \text{......(式 A)}∣x−y∣2∣x∣2∣y∣2−2∣x∣∣y∣cosθ......(式A)其中∣ ⋅ ∣ |\cdot|∣⋅∣代表向量的长度模。3. 利用代数定义展开现在我们利用书中给出的代数定义公式 1来计算左边的项∣ x − y ∣ 2 |\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}|^2∣x−y∣2。向量长度的平方等于向量与自身的内积∣ x − y ∣ 2 ( x − y ) ⋅ ( x − y ) |\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}|^2 (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}) \cdot (\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y})∣x−y∣2(x−y)⋅(x−y)利用内积的线性性质分配律展开 x ⋅ x − x ⋅ y − y ⋅ x y ⋅ y \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{x} - \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y} - \boldsymbol{y} \cdot \boldsymbol{x} \boldsymbol{y} \cdot \boldsymbol{y}x⋅x−x⋅y−y⋅xy⋅y ∣ x ∣ 2 − 2 ( x ⋅ y ) ∣ y ∣ 2 ......(式 B) |\boldsymbol{x}|^2 - 2(\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y}) |\boldsymbol{y}|^2 \quad \text{......(式 B)}∣x∣2−2(x⋅y)∣y∣2......(式B)4. 建立联系 (核心步骤)现在我们有两个关于∣ x − y ∣ 2 |\boldsymbol{x} - \boldsymbol{y}|^2∣x−y∣2的表达式式 A 和 式 B。它们必须相等∣ x ∣ 2 ∣ y ∣ 2 − 2 ∣ x ∣ ∣ y ∣ cos ⁡ θ ∣ x ∣ 2 ∣ y ∣ 2 − 2 ( x ⋅ y ) |\boldsymbol{x}|^2 |\boldsymbol{y}|^2 - 2|\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}|\cos\theta |\boldsymbol{x}|^2 |\boldsymbol{y}|^2 - 2(\boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y})∣x∣2∣y∣2−2∣x∣∣y∣cosθ∣x∣2∣y∣2−2(x⋅y)消去两边的∣ x ∣ 2 |\boldsymbol{x}|^2∣x∣2和∣ y ∣ 2 |\boldsymbol{y}|^2∣y∣2再消去− 2 -2−2我们就得到了内积最重要的几何性质公式x ⋅ y ∣ x ∣ ∣ y ∣ cos ⁡ θ \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y} |\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}|\cos\thetax⋅y∣x∣∣y∣cosθ5. 结论回到你的问题当内积为 0 时即x ⋅ y 0 \boldsymbol{x} \cdot \boldsymbol{y} 0x⋅y00 ∣ x ∣ ∣ y ∣ cos ⁡ θ 0 |\boldsymbol{x}||\boldsymbol{y}|\cos\theta0∣x∣∣y∣cosθ因为我们假设向量是非零向量∣ x ∣ ≠ 0 , ∣ y ∣ ≠ 0 |\boldsymbol{x}| \neq 0, |\boldsymbol{y}| \neq 0∣x∣0,∣y∣0所以必须有cos ⁡ θ 0 \cos\theta 0cosθ0在0 00到180 ∘ 180^{\circ}180∘的范围内只有当θ 90 ∘ \theta 90^{\circ}θ90∘时余弦值才为 0。证明完毕这就解释了为什么代数上的“内积等于零”严格对应几何上的“互相垂直”。书中的这一段正是把这个在 2维/3维 成立的几何直观推广定义到了n nn维空间。