✅作者简介热爱科研的Matlab仿真开发者擅长毕业设计辅导、数学建模、数据处理、建模仿真、程序设计、完整代码获取、论文复现及科研仿真。 往期回顾关注个人主页Matlab科研工作室 关注我领取海量matlab电子书和数学建模资料个人信条格物致知,完整Matlab代码获取及仿真咨询内容私信。 内容介绍一、背景一双耦合弹簧质量系统的应用广泛双耦合弹簧质量系统是一种基础的动力学模型在众多领域有着重要应用。在机械工程中常用于模拟车辆的悬挂系统两个相互耦合的弹簧 - 质量结构可以有效缓冲路面不平带来的冲击提升行驶舒适性与稳定性。在建筑工程里可用来分析高层建筑或大型桥梁在风荷载、地震作用下的振动响应为结构设计与抗震减灾提供理论依据。此外在航空航天领域飞行器的起落架、发动机的减振系统等也可抽象为双耦合弹簧质量系统进行研究。二传统整数阶微积分建模的局限传统上双耦合弹簧质量系统的动力学分析多基于整数阶微积分。其运动方程通过牛顿第二定律建立将系统的加速度、速度和位移等物理量用整数阶导数描述。然而实际的机械振动系统往往具有复杂的力学特性如材料的内摩擦、结构的阻尼等这些特性并非简单的线性关系传统整数阶模型难以准确刻画。例如在一些具有粘弹性材料的结构中其阻尼特性具有记忆效应即当前时刻的阻尼力不仅取决于当前的速度还与过去一段时间内的速度变化有关而传统整数阶导数无法反映这种记忆特性。三分数阶微积分引入的意义分数阶微积分作为整数阶微积分的推广能够更灵活、准确地描述复杂系统的动力学行为。Caputo 导数作为分数阶微积分的一种常用定义因其在物理意义解释和初始条件处理上的优势被广泛应用于动力学建模。将基于 Caputo 导数的分数阶模型引入双耦合弹簧质量系统可更精确地捕捉系统的非局部和记忆特性为深入理解系统的振动行为提供更有力的工具也为相关工程问题的解决提供更准确的理论支持。二、Caputo 导数原理一Caputo 导数定义二Caputo 导数的特性记忆特性Caputo 导数考虑了函数在整个历史区间 [0,t] 内的变化情况体现了系统的记忆特性。这意味着当前时刻的导数不仅取决于当前函数的变化率还与过去所有时刻的函数变化有关。例如在描述材料的粘弹性阻尼时这种记忆特性能够反映阻尼力对历史速度变化的依赖更符合实际物理现象。非局部性由于积分区间覆盖了从初始时刻到当前时刻的整个时间段Caputo 导数具有非局部性。与整数阶导数只依赖于某一点附近的局部信息不同分数阶导数考虑了整个时间历程的影响使得模型能够捕捉到系统行为的长程相关性。三、基于 Caputo 导数的双耦合弹簧质量系统建模一系统结构与力学分析⛳️ 运行结果 部分代码function [x1, x2] fractionalGarrapaCoupledSprings(t, gamma, par, con)% Check if parameters are enteredif nargin 4con struct();if nargin 3par struct();if nargin 2error(Please insert the time variable);endendend% Set default values for conditions (if so)if ~isfield(con, x10), con.x10 nan; endif ~isfield(con, x20), con.x20 nan; endif ~isfield(con, t0), con.t0 0; end% Set default values for parameters (if so)if ~isfield(par, m1), par.m1 nan; endif ~isfield(par, m2), par.m2 nan; endif ~isfield(par, mk1), par.mk1 nan; endif ~isfield(par, mk2), par.mk2 nan; endif ~isfield(par, k1), par.k1 nan; endif ~isfield(par, k2), par.k2 nan; endgammaVector gamma * ones(1, 4);% Plancks timetp 5.39106e-44;A -(tp^(1 - gamma)) * (par.k1 par.k2) / par.m1;B (tp^(1 - gamma)) * par.k2 / par.m1;C (tp^(1 - gamma)) * par.k2 / par.m2;D -(tp^(1 - gamma))* par.k2 / par.m2;parameterMatrix [A, B, C, D];lambdaVector [0 , 1, 0, 1];f_fun(r,y,par)[y(2); A*y(1) B*y(3); y(4); C*y(1) D*y(3)];%J_fun(r,y,par)[0,1,0,0; A,0,B,0; 0,0,0,1; C,0,D,0];% Define~ parameters for the numerical method[~, y] MT_FDE_PI1_Ex(...gammaVector, lambdaVector, f_fun, con.t0, t(end), ...[con.x10; 0; con.x20; 0], 0.0001, parameterMatrix);% Get resultsx1 y(1,:);%zv y(2,:);x2 y(3,:);%wv y(4,:);end 参考文献[1]王翠艳,石少轩,陈恩利.含分数阶的分段非线性悬架变载荷振动响应特性研究[J].振动与冲击, 2025, 44(3):26-34.往期回顾扫扫下方二维码