Armstrong公理的推论合并规则若X→YX→Z同时在R上成立则X→YZ在R上也成立。分解规则若X→W在R上成立且属性集Z包含于W则X→Z在R上也成立。伪传递规则若X→Y在R上成立且WY→Z则XW→Z。函数依赖的公理系统一、Armstrong公理系统设关系模式RU,F其中U为属性集F是U上的一组函数依赖那么有如下推理规则① A1自反律若Y⊆X⊆U则X→Y为F所蕴含② A2增广律若X→Y为F所蕴含且Z⊆U则XZ→YZ为F所蕴含③ A3传递律若X→YY→Z为F所蕴含则X→Z为F所蕴含。根据上面三条推理规则又可推出下面三条推理规则④ 合并规则若X→YX→Z则X→YZ为F所蕴含⑤ 伪传递规则若X→YWY→Z则XW→Z为F所蕴含⑥ 分解规则若X→YZ⊆Y则X→Z为F所蕴含。引理X→A1A2…Ak成立的充分必要条件是X→Ai成立(i1,2,…,k)。二、Armstrong公理系统的证明① A1自反律若Y X U则X→Y为F所蕴含证明1设Y⊆X⊆U。对RU,F的任一关系r中的任意两个元组t,s若t[X]s[X]由于Y X则有t[Y]s[Y]所以X→Y成立自反律得证。② A2增广律若X→Y为F所蕴含且Z U则XZ→YZ为F所蕴含证明2设X→Y为F所蕴含且Z⊆U。对RU,F的任一关系r中的任意两个元组t,s若t[XZ]s[XZ]由于X ⊆XZZ⊆ XZ根据自反律则有t[X]s[X]和t[Z]s[Z]由于X→Y于是t[Y]s[Y]所以t[YZ]s[YZ]所以XZ→YZ成立增广律得证。③ A3传递律若X→YY→Z为F所蕴含则X→Z为F所蕴含证明3设X→Y及Y→Z为F所蕴含。对RU,F的任一关系r中的任意两个元组t,s若t[X]s[X]由于X→Y有t[Y]s[Y]再由于Y→Z有t[Z]s[Z]所以X→Z为F所蕴含传递律得证。④ 合并规则若X→YX→Z则X→YZ为F所蕴含证明4因X→Y 所以X→XY 增广律 XX→XY即X→XY因X→Z 所以XY→YZ 增广律因X→XYXY→YZ故X→YZ 传递律⑤ 伪传递规则若X→YWY→Z则XW→Z为F所蕴含证明5因X→Y 所以WX→WY 增广律因WY→Z 所以XW→Z 传递律⑥ 分解规则若X→YZ∈Y则X→Z为F所蕴含证明6因Z∈Y 所以Y→Z 自反律因X→Y 所以X→Z 传递律闭包及其计算定义1设F是关系模型R的一个函数依赖集X,Y是R的属性子集如果从F中的函数依赖能够推出X→Y则称F [1] X→Y。定义2被F逻辑蕴涵的函数依赖的全体构成的集合称为F的闭包记作F。定义3设F是属性集U上的一组函数依赖则属性集X关于F的闭包XF定义为XF{A|A∈U且X→A可由F经Armstrong公理导出}即XF{A|X→A∈F}。定理1设关系模型R(U)F为其函数依赖集XY为U的真子集则从F推出X→Y的充要条件是Y是XF的真子集。