1. 引言如何描述一个机器人的位置位形Configuration. 它描述了机器人身上所有点的位置。位形空间C-space所有位形所在的空间自由度Degrees of freedom (dof)位形空间的维数例如一个双关节机器人two-joint robot的C-space可以被可视化为一个二维的圆环面2. 刚体自由度的计算3维空间中的刚体有3个位置自由度3个角度自由度n维空间中的刚体有n个位置自由度个角度自由度一共有个自由度3. 机器人的自由度机器人的自由度类似于刚体的自由度公式机器人运动约束往往来自于关节joints.常见的关节类型常见关节类型关节名称自由度示意图旋转关节revolute joint1移动关节prismatic joint or linear joint1万向节universal joint2球关节spherical joint3计算机器人自由度的方法 # of bodies, including ground # of joints dof of a single body, 6 for spatial bodies, 3 for planar该式被称为Grublers formula该公式假设各关节提供的约束都是独立的。例如开链机器人3R serial open-chain robot3R-开链机器人平面单个刚体自由度刚体数关节数每个关节有1个自由度dof3(4-1)-3×23Stewart平台六自由度平台这是一个空间闭链机构Stewart 平台连杆数2×6214每条腿上端是球关节3dof下端是万向节2dof中间是平移杆1dof共6dof3个关节dof6×(14-1)-6×(3×6-6)64. 位形空间的拓扑topology同样维度的空间可能有不同的拓扑如果两个形状可以不经过切分和粘合进行相互转化则该两个形状拓扑等价。比如平面和圆环面同属于二维空间但二者拓扑不同。如果在两者上同时表示同一点则点的运动可能存在突变不连续。5. 位形空间的表示显示参数化Explicit Parametrization即使用最少的坐标来表示空间。隐式表示法Implicit representation它使用更多的坐标并受到一些约束。它的思想在于将n维空间嵌入在更高维的空间中但受到一定的约束。通常我们使用隐式表示法来表达C-space。6. 位形和速度约束例如一个闭链四连杆机构四连杆机构我们可以将这个C-space视为嵌入在四维空间中的一维空间。该空间由3个闭环方程定义如下写成向量形式定义该约束被称为完整约束holonomic constraints,它能够减少C-space的维度因为g必须始终为0所以g相对于时间的变化率也恒为0每一个先对每一个求偏导然后再对时间求偏导即定义第一个矩阵为速度约束可以写成称为Pfaffian约束。如果该约束不能通过积分成为等价的位形约束则称之为非完整约束nonholonomic constraints。7. 任务空间和工作空间任务空间Task Space由任务定义指出机器人的任务所在的空间与机器人无关工作空间Works Space指明了机器人末端执行器end-effector可以达到的位形与任务无关。