一个让你彻底搞懂的故事开场一个让人困惑的结论┌──────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ 你看到了这个协方差矩阵 │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ 击杀 死亡 助攻 伤害 存活 │ │ │ │ 击杀│ 1.00 -0.97 -0.93 0.99 -0.95 │ │ │ │ 死亡│-0.97 1.00 0.96 -0.96 0.98 │ │ │ │ 助攻│-0.93 0.96 1.00 -0.91 0.95 │ │ │ │ 伤害│ 0.99 -0.96 -0.91 1.00 -0.94 │ │ │ │ 存活│-0.95 0.98 0.95 -0.94 1.00 │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ 然后有人告诉你 │ │ │ │ ╔══════════════════════════════════════════╗ │ │ ║ ║ │ │ ║ 5个维度里 ║ │ │ ║ 真正独立的信息 ║ │ │ ║ 可能只有1~2个维度 ║ │ │ ║ ║ │ │ ╚══════════════════════════════════════════╝ │ │ │ │ 你的反应 │ │ │ │ 等等 明明有5列数据 │ │ 每列都是不同的东西 │ │ 击杀是击杀 死亡是死亡 │ │ 怎么就变成1~2个维度了 │ │ 那3~4个维度去哪了 │ │ │ │ 别急 我们从最简单的例子开始 │ │ │ └──────────────────────────────────────────────────────┘第一章先从2个维度理解——身高和臂展┌──────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ 忘掉游戏 先看一个生活中的例子 │ │ │ │ ┌──────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ 你去测量10个人的身高和臂展 │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 小明 身高170cm 臂展171cm │ │ │ │ │ │ 小红 身高160cm 臂展159cm │ │ │ │ │ │ 小刚 身高185cm 臂展187cm │ │ │ │ │ │ 小美 身高155cm 臂展154cm │ │ │ │ │ │ 小强 身高178cm 臂展179cm │ │ │ │ │ │ 小丽 身高163cm 臂展162cm │ │ │ │ │ │ 小伟 身高190cm 臂展192cm │ │ │ │ │ │ 小芳 身高158cm 臂展157cm │ │ │ │ │ │ 小龙 身高182cm 臂展183cm │ │ │ │ │ │ 小花 身高165cm 臂展164cm │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ 你发现了什么 │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 身高高的人 → 臂展也长 │ │ │ │ │ │ 身高矮的人 → 臂展也短 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 而且几乎是 1:1 的关系 │ │ │ │ │ │ 臂展 ≈ 身高 ± 2cm │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ 画成散点图 │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 臂展 │ │ │ │ │ │ ↑ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ·伟 │ │ │ │ │ │ │ ·刚 │ │ │ │ │ │ │ ·龙 │ │ │ │ │ │ │ ·强 │ │ │ │ │ │ │ ·明 │ │ │ │ │ │ │ ·花 │ │ │ │ │ │ │ ·丽 │ │ │ │ │ │ │ ·红 │ │ │ │ │ │ │ ·芳 │ │ │ │ │ │ │ ·美 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────→ 身高 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 所有点几乎排成一条直线 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────┘ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────────────┘第二章关键问题——这条直线意味着什么┌──────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ ┌──────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ 现在问你一个问题 │ │ │ │ │ │ │ │ ╔══════════════════════════════════════╗ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ ║ 我告诉你小张身高175cm ║ │ │ │ │ ║ 你能猜出他的臂展吗 ║ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ ╚══════════════════════════════════════╝ │ │ │ │ │ │ │ │ 你大概175cm左右吧 │ │ │ │ │ │ │ │ 没错因为身高和臂展几乎完全相关 │ │ │ │ 知道一个 就几乎知道另一个 │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 这意味着什么 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 表面上 │ │ │ │ │ │ │ │ 你有2个数据 │ │ │ │ │ │ │ │ 身高 和 臂展 │ │ │ │ │ │ │ │ 2个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 实际上 │ │ │ │ │ │ │ │ 这2个数据 │ │ │ │ │ │ │ │ 讲的是同一件事 │ │ │ │ │ │ │ │ 那就是这个人有多高 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 身高在说我170 │ │ │ │ │ │ │ │ 臂展也在说我171 │ │ │ │ │ │ │ │ 它们在用不同的嘴巴 │ │ │ │ │ │ │ │ 说同一句话 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ════════════════════ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 所以 │ │ │ │ │ │ │ │ 2个维度的数据 │ │ │ │ │ │ │ │ 真正独立的信息 │ │ │ │ │ │ │ │ 只有1个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 那个维度就是 │ │ │ │ │ │ │ │ 体型大小 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────┘ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────────────┘第三章对比——如果数据真的独立会怎样┌──────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ ┌──────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ 换一组数据身高 和 考试成绩 │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 小明 身高170cm 成绩85分 │ │ │ │ │ │ 小红 身高160cm 成绩92分 │ │ │ │ │ │ 小刚 身高185cm 成绩60分 │ │ │ │ │ │ 小美 身高155cm 成绩78分 │ │ │ │ │ │ 小强 身高178cm 成绩95分 │ │ │ │ │ │ 小丽 身高163cm 成绩45分 │ │ │ │ │ │ 小伟 身高190cm 成绩88分 │ │ │ │ │ │ 小芳 身高158cm 成绩72分 │ │ │ │ │ │ 小龙 身高182cm 成绩55分 │ │ │ │ │ │ 小花 身高165cm 成绩90分 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ 画成散点图 │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 成绩 │ │ │ │ │ │ ↑ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ·强 │ │ │ │ │ │ │ ·红 ·花 │ │ │ │ │ │ │ ·伟 │ │ │ │ │ │ │ ·明 │ │ │ │ │ │ │ ·美 │ │ │ │ │ │ │ ·芳 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ·刚 │ │ │ │ │ │ │ ·龙 │ │ │ │ │ │ │ ·丽 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────→ 身高 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 点散得到处都是 │ │ │ │ │ │ 没有任何规律 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 问你同样的问题 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ╔══════════════════════════╗ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 小张身高175cm ║ │ │ │ │ │ │ ║ 你能猜出他的成绩吗 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ╚══════════════════════════╝ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 你完全猜不到啊 │ │ │ │ │ │ 高个子可能考95也可能考45 │ │ │ │ │ │ 身高和成绩没有任何关系 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 没错 │ │ │ │ │ │ 知道身高 对猜成绩毫无帮助 │ │ │ │ │ │ 知道成绩 对猜身高也毫无帮助 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 这意味着 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 身高和成绩 │ │ │ │ │ │ │ │ 是真正独立的两个信息 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 2个维度的数据 │ │ │ │ │ │ │ │ 真正独立的信息 │ │ │ │ │ │ │ │ 就是2个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 缺一不可 │ │ │ │ │ │ │ │ 谁也替代不了谁 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────┘ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────────────┘第四章两种情况的对比——核心区别┌──────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ ┌──────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ 把两种情况放在一起对比 │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 情况A身高 vs 臂展 │ │ │ │ │ │ (高度相关 相关系数≈0.99) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ↑ │ │ │ │ │ │ │ · │ │ │ │ │ │ │ · │ │ │ │ │ │ │ · │ │ │ │ │ │ │ · ← 一条线 │ │ │ │ │ │ │ · │ │ │ │ │ │ │ · │ │ │ │ │ │ │ · │ │ │ │ │ │ └──────────────→ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 协方差矩阵 │ │ │ │ │ │ ┌ ┐ │ │ │ │ │ │ │ 1.00 0.99 │ │ │ │ │ │ │ │ 0.99 1.00 │ │ │ │ │ │ │ └ ┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 对角线外 0.99 ≈ 1 │ │ │ │ │ │ → 几乎完全相关 │ │ │ │ │ │ → 2维数据 只有1维信息 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ════════════════════════════ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 情况B身高 vs 成绩 │ │ │ │ │ │ (完全不相关 相关系数≈0.02) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ↑ │ │ │ │ │ │ │ · · │ │ │ │ │ │ │ · · │ │ │ │ │ │ │ · │ │ │ │ │ │ │ · · ← 一团 │ │ │ │ │ │ │ · │ │ │ │ │ │ │ · · │ │ │ │ │ │ │ · │ │ │ │ │ │ └──────────────→ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 协方差矩阵 │ │ │ │ │ │ ┌ ┐ │ │ │ │ │ │ │ 1.00 0.02 │ │ │ │ │ │ │ │ 0.02 1.00 │ │ │ │ │ │ │ └ ┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 对角线外 0.02 ≈ 0 │ │ │ │ │ │ → 几乎完全不相关 │ │ │ │ │ │ → 2维数据 就是2维信息 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ ╔══════════════════════════════════════╗ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ ║ 规律 ║ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ ║ 对角线外的数字越接近 ±1 ║ │ │ │ │ ║ → 维度之间越相关 ║ │ │ │ │ ║ → 独立信息越少 ║ │ │ │ │ ║ → 数据越可压缩 ║ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ ║ 对角线外的数字越接近 0 ║ │ │ │ │ ║ → 维度之间越独立 ║ │ │ │ │ ║ → 独立信息越多 ║ │ │ │ │ ║ → 数据不可压缩 ║ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ ╚══════════════════════════════════════╝ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────┘ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────────────┘第五章回到游戏——5个维度的真相┌──────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ ┌──────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ 现在回到游戏的5个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 再看一遍协方差矩阵 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀 死亡 助攻 伤害 存活│ │ │ │ │ │ 击杀│ 1.00 -0.97 -0.93 0.99 -0.95│ │ │ │ │ │ 死亡│-0.97 1.00 0.96 -0.96 0.98│ │ │ │ │ │ 助攻│-0.93 0.96 1.00 -0.91 0.95│ │ │ │ │ │ 伤害│ 0.99 -0.96 -0.91 1.00 -0.94│ │ │ │ │ │ 存活│-0.95 0.98 0.95 -0.94 1.00│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 对角线外的数字 │ │ │ │ │ │ -0.97 -0.93 0.99 -0.95 │ │ │ │ │ │ 0.96 -0.96 0.98 │ │ │ │ │ │ -0.91 0.95 │ │ │ │ │ │ -0.94 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 绝对值全部在 0.91~0.99 之间 │ │ │ │ │ │ 全部接近1 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ 这意味着什么 │ │ │ │ 让我们一对一对地看 │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀 vs 伤害 0.99 │ │ │ │ │ │ ────────────────────── │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 你告诉我一个玩家 │ │ │ │ │ │ │ │ 场均击杀22 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 我能猜出他的伤害吗 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 能大概4.8k左右 │ │ │ │ │ │ │ │ 因为相关系数0.99 │ │ │ │ │ │ │ │ 杀得多的人 伤害必然高 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 就像身高和臂展一样 │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀和伤害 │ │ │ │ │ │ │ │ 在说同一件事 │ │ │ │ │ │ │ │ 这个人输出能力强 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀 vs 死亡 -0.97 │ │ │ │ │ │ ────────────────────── │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 你告诉我一个玩家 │ │ │ │ │ │ │ │ 场均击杀22 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 我能猜出他的死亡吗 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 能大概4~5次 │ │ │ │ │ │ │ │ 因为相关系数-0.97 │ │ │ │ │ │ │ │ (负号表示反向) │ │ │ │ │ │ │ │ 杀得多的人 死得少 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀和死亡 │ │ │ │ │ │ │ │ 也在说同一件事 │ │ │ │ │ │ │ │ 这个人很强 │ │ │ │ │ │ │ │ 只不过一个正着说 │ │ │ │ │ │ │ │ 一个反着说 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 死亡 vs 存活 0.98 │ │ │ │ │ │ ────────────────────── │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 死得多的人 │ │ │ │ │ │ │ │ 存活时间反而长 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 对因为辅助型玩家 │ │ │ │ │ │ │ │ 躲在后面 不冲锋 │ │ │ │ │ │ │ │ 活得久 但也死得多 │ │ │ │ │ │ │ │ (因为不会主动击杀 │ │ │ │ │ │ │ │ 被找到就容易死) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 而杀手型玩家 │ │ │ │ │ │ │ │ 冲在前面 要么杀人 │ │ │ │ │ │ │ │ 要么被杀 回合很短 │ │ │ │ │ │ │ │ 存活时间反而短 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 死亡和存活 │ │ │ │ │ │ │ │ 还是在说同一件事 │ │ │ │ │ │ │ │ 这个人的游戏风格 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 助攻 vs 击杀 -0.93 │ │ │ │ │ │ ────────────────────── │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀多的人 助攻少 │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀少的人 助攻多 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 因为 │ │ │ │ │ │ │ │ 杀手自己抢人头 │ │ │ │ │ │ │ │ 辅助帮别人拿人头 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 还是同一件事 │ │ │ │ │ │ │ │ 进攻型 vs 辅助型 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────┘ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────────────┘第六章五个嘴巴说同一句话┌──────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ ┌──────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ 现在你应该感觉到了 │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 5个维度 就像5个人 │ │ │ │ │ │ 在描述同一个玩家 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀说 │ │ │ │ │ │ │ │ 他杀了22个人 很猛 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 死亡说 │ │ │ │ │ │ │ │ 他才死5次 很猛 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 助攻说 │ │ │ │ │ │ │ │ 他助攻才3次 自己干 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 伤害说 │ │ │ │ │ │ │ │ 他打了4800伤害 很猛 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 存活说 │ │ │ │ │ │ │ │ 他存活才3分钟 冲锋型│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 5个人 5种说法 │ │ │ │ │ │ 但翻译成人话 都是同一句 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ╔══════════════════════════╗ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 这个人是个猛男 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ╚══════════════════════════╝ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 反过来 对于辅助型玩家D │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀说他才杀3个 │ │ │ │ │ │ │ │ 死亡说他死了12次 │ │ │ │ │ │ │ │ 助攻说他助攻9次 │ │ │ │ │ │ │ │ 伤害说他才1200伤害 │ │ │ │ │ │ │ │ 存活说他活了8分钟 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 翻译成人话 还是一句 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 这个人是个辅助 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ╔══════════════════════════════╗ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 所以 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 5个维度 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 看起来是5个不同的数字 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 但因为它们高度相关 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 知道其中任何1个 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 就能推算出其他4个 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 它们携带的独立信息 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 其实只有1份 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 那1份信息就是 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 这个玩家有多凶 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ╚══════════════════════════════╝ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────┘ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────────────┘第七章用一个极端例子彻底理解┌──────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ ┌──────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ 假设相关系数全部等于1.00 │ │ │ │ (极端情况 帮助理解) │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 如果击杀和伤害的相关系数 │ │ │ │ │ │ 恰好等于1.00 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 那意味着存在一个精确的公式 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 伤害 0.22 × 击杀 0.1 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀22 → 伤害4.94 │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀3 → 伤害0.76 │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀25 → 伤害5.60 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 100%精确 没有误差 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 在这种情况下 │ │ │ │ │ │ 伤害这一列 │ │ │ │ │ │ 完全可以从击杀算出来 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ╔══════════════════════════╗ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 伤害这一列 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 没有提供任何新信息 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 它是击杀的复读机 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 删掉它 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 你不会损失任何信息 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ╚══════════════════════════╝ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 如果5个维度之间 │ │ │ │ │ │ 相关系数全部等于±1.00 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 那么 │ │ │ │ │ │ 死亡 f(击杀) │ │ │ │ │ │ 助攻 g(击杀) │ │ │ │ │ │ 伤害 h(击杀) │ │ │ │ │ │ 存活 k(击杀) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 只要知道击杀 │ │ │ │ │ │ 其他4个全部能算出来 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 5个维度 → 1个维度 │ │ │ │ │ │ 0信息损失 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 但现实中 相关系数不是1.00 │ │ │ │ │ │ 而是0.91~0.99 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 这意味着 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 伤害 ≈ 0.22×击杀0.1 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 注意这个 ≈ 号 │ │ │ │ │ │ │ │ 不是精确等于 │ │ │ │ │ │ │ │ 有一点点误差 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀22 → 伤害≈4.94 │ │ │ │ │ │ │ │ 实际可能是4.8或5.0 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 这个误差 │ │ │ │ │ │ │ │ 就是伤害中 │ │ │ │ │ │ │ │ 不能被击杀解释的部分 │ │ │ │ │ │ │ │ 伤害独有的一点点信息 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 但这点信息非常少 │ │ │ │ │ │ │ │ 只占总信息的1~5% │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 所以结论是 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ╔══════════════════════════╗ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 5个维度 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ · 94%的信息 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 集中在1个维度 ║ │ │ │ │ │ │ ║ (大家都在说的那件事) ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ · 4~5%的信息 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 在第2个维度 ║ │ │ │ │ │ │ ║ (那一点点独有的差异) ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ · 剩下1% ║ │ │ │ │ │ │ ║ 是噪音 可以忽略 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 所以 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 真正独立的信息 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 只有1~2个维度的量 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ╚══════════════════════════╝ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────┘ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────────────┘第八章用考试成绩做一个终极类比┌──────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ ┌──────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ 想象你是班主任 │ │ │ │ 你有每个学生的5科成绩 │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 场景A5科高度相关 │ │ │ │ │ │ ════════════════════ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 语 数 英 物 化 │ │ │ │ │ │ │ │ 学霸│95 98 93 96 94 │ │ │ │ │ │ │ │ 中等│72 75 70 73 71 │ │ │ │ │ │ │ │ 学渣│35 32 38 34 36 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 规律 │ │ │ │ │ │ │ │ 学霸 → 门门都高 │ │ │ │ │ │ │ │ 学渣 → 门门都低 │ │ │ │ │ │ │ │ 5科成绩高度一致 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 你只需要问一个问题 │ │ │ │ │ │ │ │ 这个学生聪不聪明 │ │ │ │ │ │ │ │ 就能预测所有5科成绩 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 5个维度 → 1个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ 那个维度叫智力 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 场景B5科完全不相关 │ │ │ │ │ │ │ │ ════════════════════ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 语 数 英 物 化 │ │ │ │ │ │ │ │ 小明│95 32 78 55 90 │ │ │ │ │ │ │ │ 小红│40 98 65 88 35 │ │ │ │ │ │ │ │ 小刚│70 55 95 30 72 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 规律 │ │ │ │ │ │ │ │ 完全没有规律 │ │ │ │ │ │ │ │ 语文好的 数学可能很差 │ │ │ │ │ │ │ │ 每科都是独立的 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 你必须问5个问题 │ │ │ │ │ │ │ │ 语文怎样 │ │ │ │ │ │ │ │ 数学怎样 │ │ │ │ │ │ │ │ 英语怎样 │ │ │ │ │ │ │ │ 物理怎样 │ │ │ │ │ │ │ │ 化学怎样 │ │ │ │ │ │ │ │ 缺一不可 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 5个维度 → 5个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ 无法压缩 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 场景C部分相关(现实) │ │ │ │ │ │ │ │ ════════════════════ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 语 数 英 物 化 │ │ │ │ │ │ │ │ 小明│92 45 95 50 48 │ │ │ │ │ │ │ │ 小红│40 95 35 92 90 │ │ │ │ │ │ │ │ 小刚│85 55 88 60 52 │ │ │ │ │ │ │ │ 小美│50 90 45 88 85 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 规律 │ │ │ │ │ │ │ │ 语文好 → 英语也好 │ │ │ │ │ │ │ │ 数学好 → 物理化学也好 │ │ │ │ │ │ │ │ 但文科好 ≠ 理科好 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 你需要问2个问题 │ │ │ │ │ │ │ │ 文科怎样 │ │ │ │ │ │ │ │ 理科怎样 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 就能大致预测5科成绩 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 5个维度 → 2个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ 文科能力理科能力│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 三种场景对比 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 场景A │ │ │ │ │ │ │ │ 协方差矩阵对角线外≈±1 │ │ │ │ │ │ │ │ 5维 → 1维 │ │ │ │ │ │ │ │ 一个词概括聪明/不聪明 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 场景B │ │ │ │ │ │ │ │ 协方差矩阵对角线外≈0 │ │ │ │ │ │ │ │ 5维 → 5维 │ │ │ │ │ │ │ │ 必须逐科描述 无法压缩 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 场景C │ │ │ │ │ │ │ │ 协方差矩阵部分接近±1 │ │ │ │ │ │ │ │ 5维 → 2维 │ │ │ │ │ │ │ │ 两个词文科好/理科好 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ╔══════════════════════════╗ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 我们游戏的数据 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 就是场景A ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ║ 对角线外全部接近±1 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 5个维度高度相关 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 真正独立的信息 ║ │ │ │ │ │ │ ║ 只有1~2个维度 ║ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ ╚══════════════════════════╝ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────┘ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────────────┘第九章一张图彻底搞懂┌──────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ ┌──────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ 把独立信息量想象成一个水管系统 │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 情况15根管子 各自独立 │ │ │ │ │ │ (对角线外≈0 不相关) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀 ════════════════ → 独立信息1 │ │ │ │ │ │ 死亡 ════════════════ → 独立信息2 │ │ │ │ │ │ 助攻 ════════════════ → 独立信息3 │ │ │ │ │ │ 伤害 ════════════════ → 独立信息4 │ │ │ │ │ │ 存活 ════════════════ → 独立信息5 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 5根管子 → 5份独立信息 │ │ │ │ │ │ 每根管子都不可替代 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ════════════════════════════ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 情况25根管子 但其实相通 │ │ │ │ │ │ (对角线外≈±1 高度相关) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 击杀 ═══╗ │ │ │ │ │ │ 死亡 ═══╬══════════ → 独立信息1 │ │ │ │ │ │ 助攻 ═══╬══════════ (攻击性) │ │ │ │ │ │ 伤害 ═══╬══════════ │ │ │ │ │ │ 存活 ═══╝ │ │ │ │ │ │ ╚═ → 独立信息2(一点点) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 5根管子 → 但汇入同一条大管道 │ │ │ │ │ │ 看起来是5根 实际上是1~2根 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 再用一个比喻 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 5个人给你写信 │ │ │ │ │ │ │ │ 描述同一个嫌疑人 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 如果5个人的描述 │ │ │ │ │ │ │ │ 完全一致 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 甲高个子 戴眼镜 │ │ │ │ │ │ │ │ 乙很高 有眼镜 │ │ │ │ │ │ │ │ 丙个子高 戴着眼镜 │ │ │ │ │ │ │ │ 丁高高的 眼镜男 │ │ │ │ │ │ │ │ 戊身材高 戴副眼镜 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 你收到了5封信 │ │ │ │ │ │ │ │ 但有用的信息 │ │ │ │ │ │ │ │ 只有1封信的量 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 因为他们都在说 │ │ │ │ │ │ │ │ 同一件事 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ════════════════════ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 如果5个人的描述 │ │ │ │ │ │ │ │ 完全不同 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 甲高个子 │ │ │ │ │ │ │ │ 乙左撇子 │ │ │ │ │ │ │ │ 丙说四川话 │ │ │ │ │ │ │ │ 丁走路一瘸一拐 │ │ │ │ │ │ │ │ 戊开红色的车 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 你收到了5封信 │ │ │ │ │ │ │ │ 有用的信息 │ │ │ │ │ │ │ │ 就是5封信的量 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 因为每个人都在说 │ │ │ │ │ │ │ │ 不同的事情 │ │ │ │ │ │ │ │ 每封信都不可替代 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────┘ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────────────┘第十章最终总结——一张表说清楚┌──────────────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ ┌──────────────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ ╔══════════════════════════════════════════╗│ │ │ │ ║ ║│ │ │ │ ║ 协方差矩阵对角线外的数字 ║│ │ │ │ ║ 就是判断独立信息量的密码 ║│ │ │ │ ║ ║│ │ │ │ ╚══════════════════════════════════════════╝│ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 对角线外 含义 │ │ │ │ │ │ │ │ 的绝对值 │ │ │ │ │ │ │ │ ─────────────────────────── │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 全部≈0 完全不相关 │ │ │ │ │ │ │ │ 每个维度都独立 │ │ │ │ │ │ │ │ N维→N维 │ │ │ │ │ │ │ │ 无法压缩 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 部分≈0 部分相关 │ │ │ │ │ │ │ │ 部分≈1 有些维度可合并 │ │ │ │ │ │ │ │ N维→K维 │ │ │ │ │ │ │ │ (KN) │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 全部≈1 高度相关 │ │ │ │ │ │ │ │ (我们的情况) 几乎都在说同一件事│ │ │ │ │ │ │ │ N维→1~2维 │ │ │ │ │ │ │ │ 大幅压缩 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 回到你的问题 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 为什么说真正独立的 │ │ │ │ │ │ │ │ 信息只有1~2个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 因为 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ① 对角线外全部接近±1 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ② 这意味着 │ │ │ │ │ │ │ │ 知道任何1个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ 就能推算其他4个 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ③ 就像5个人 │ │ │ │ │ │ │ │ 用不同的话 │ │ │ │ │ │ │ │ 说同一件事 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ④ 那件事就是 │ │ │ │ │ │ │ │ 这个玩家有多凶 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ⑤ 因为不是完美的±1 │ │ │ │ │ │ │ │ 而是0.91~0.99 │ │ │ │ │ │ │ │ 所以还有一点点 │ │ │ │ │ │ │ │ 独有的信息 │ │ │ │ │ │ │ │ 构成第2个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ⑥ 所以总共 │ │ │ │ │ │ │ │ 1~2个维度的独立信息 │ │ │ │ │ │ │ │ 就够了 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌────────────────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 最后一个比喻 帮你永远记住 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ┌──────────────────────────┐ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 你去医院体检 │ │ │ │ │ │ │ │ 医生给你测了5个指标 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ · 体重 │ │ │ │ │ │ │ │ · 腰围 │ │ │ │ │ │ │ │ · 体脂率 │ │ │ │ │ │ │ │ · BMI │ │ │ │ │ │ │ │ · 内脏脂肪等级 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 这5个指标高度相关 │ │ │ │ │ │ │ │ 胖的人 5个全高 │ │ │ │ │ │ │ │ 瘦的人 5个全低 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 医生其实只需要 │ │ │ │ │ │ │ │ 看一眼你的体型 │ │ │ │ │ │ │ │ 就知道这5个数字 │ │ │ │ │ │ │ │ 大概是多少 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 5个指标 │ │ │ │ │ │ │ │ 本质上在说同一件事 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ ╔══════════════════╗ │ │ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ │ │ ║ 你有多胖 ║ │ │ │ │ │ │ │ │ ║ ║ │ │ │ │ │ │ │ │ ╚══════════════════╝ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 5个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ 独立信息只有1个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ 这就是为什么 │ │ │ │ │ │ │ │ 协方差矩阵对角线外 │ │ │ │ │ │ │ │ 全部接近±1的时候 │ │ │ │ │ │ │ │ 真正独立的信息 │ │ │ │ │ │ │ │ 只有1~2个维度 │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ └────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ │ └──────────────────────────────────────────────┘ │ │ │ │ │ │ ╔══════════════════════════════════════════════╗ │ │ ║ ║ │ │ ║ 终极总结 一句话版本 ║ │ │ ║ ║ │ │ ║ 协方差矩阵对角线外的数字 ║ │ │ ║ 告诉你维度之间有多像 ║ │ │ ║ ║ │ │ ║ 越像(越接近±1) ║ │ │ ║ → 它们说的越是同一件事 ║ │ │ ║ → 独立信息越少 ║ │ │ ║ → 可以压缩的维度越多 ║ │ │ ║ ║ │ │ ║ 当全部接近±1时 ║ │ │ ║ 5个维度其实只是1个维度 ║ │ │ ║ 穿了5件不同的衣服 ║ │ │ ║ 脱掉衣服 里面是同一个人 ║ │ │ ║ ║ │ │ ╚══════════════════════════════════════════════╝ │ │ │ │ - 全文完 - │ │ │ └──────────────────────────────────────────────────────┘