为什么遇到分式可以“颠倒”过来算？

为什么可以“颠倒”过来算这种“颠倒”操作看起来有些不可思议但它背后有非常严密的数学逻辑支撑。简单来说“颠倒”其实是在利用极限的倒数性质。只要极限不为 0我们就可以把整个算式翻转过来算最后再把结果翻转回去。1. 核心数学原理极限的商法则在极限运算法则中有一个非常重要的公式如果lim⁡A\lim AlimA存在且不等于 0那么分式的极限等于极限的分式。用数学公式表达就是lim⁡1某个东西1lim⁡(某个东西)\lim \frac{1}{\text{某个东西}} \frac{1}{\lim (\text{某个东西})}lim某个东西1​lim(某个东西)1​原题要你求的极限是Llim⁡h→0h(xh)6−x6L \lim_{h \to 0} \frac{h}{(xh)^6 - x^6}Lh→0lim​(xh)6−x6h​这个式子的结构是分子分母\frac{\text{分子}}{\text{分母}}分母分子​。现在我们利用倒数知识把它改写成一个“繁分式”h(xh)6−x61(xh)6−x6h\frac{h}{(xh)^6 - x^6} \frac{1}{\frac{(xh)^6 - x^6}{h}}(xh)6−x6h​h(xh)6−x6​1​此时我们对整体求极限Llim⁡h→01(xh)6−x6hL \lim_{h \to 0} \frac{1}{\frac{(xh)^6 - x^6}{h}}Lh→0lim​h(xh)6−x6​1​根据上面的极限商法则只要分母的极限不为 0我们就可以把极限符号lim⁡\limlim直接“塞”到分母上去L1lim⁡h→0(xh)6−x6hL \frac{1}{\lim_{h \to 0} \frac{(xh)^6 - x^6}{h}}Llimh→0​h(xh)6−x6​1​2. 必须“颠倒偶数次”吗不需要纠结“奇数次”还是“偶数次”这其实是一个“借”与“还”的逻辑原题要你算的是AAA。你发现AAA很难算但是把AAA翻转过来的1A\frac{1}{A}A1​超级好算。于是你决定借用1A\frac{1}{A}A1​来算第一次颠倒。你算出来的结果是1A6x5\frac{1}{A} 6x^5A1​6x5。最关键的一步既然你一开始是“借”了别人的倒数来算现在算完了你得还回去第二次颠倒所以最终答案A16x5A \frac{1}{6x^5}A6x51​。所以书里所谓的“颠倒两次”第一次是“借”为了好算第二次是“还”为了回到原题。它是一个完整的闭环而不是说数学上有什么“必须颠倒偶数次”的死规定。如果只颠倒一次会怎么样如果你只颠倒一次算出6x56x^56x5就收工了那就相当于题目问你“0.20.20.2的倒数是多少”你嫌直接算分式麻烦