到哟脱忍坐标表示在数学里我们通常用坐标来表示向量而在几何空间中常常用箭头来表示向量箭头的长度表示大小模方向表示向量的方向。在二维空间中一个向量表示如下→v(x,y)其中 x 表示水平方向分量y 表示竖直方向分量。向量的模长为|→v|√x2y2image-20250910183206403在三维空间中一个向量表示如下→v(x,y,z)其中 x, y, z 分别是沿三个坐标轴的分量。向量的模长为|→v|√x2y2z2在N维空间中一个向量表示如下→v(x1,x2..xn)其中 x1...xn 分别是各个维度的分量。向量的模长为|→v|√x21x22?x2n二、加减法向量加法设定→a(x1,y1),→b(x2,y2)那么有→a→b(x1x2,y1y2)加法的几何意义可以使用三角形法则或平行四边形法则来说明image-20250910095714904简单的可以理解为→a→b就是从坐标原点沿着→a行进后再沿着→b行进。应用示例image-20250910102403901假定有两股方向的力如下→F1(3,4),→F2(1,2)那么这两股力的合力为→F→F1→F2(31,42)(4,6)向量减法设定→a(x1,y1),→b(x2,y2)那么有→a?→b(x1?x2,y1?y2)加法的几何意义可以使用三角形法则或平行四边形法则来说明image-20250910102038003简单的可以理解为→a?→b就是从b的终点开始朝着→a的终点行进的向量。应用示例在船的航行过程中可以利用向量的减法来获得船和水流的相对速度。image-20250910111156495假定船的速度向量为→v船(8,0)(向东 8 m/s)水流速度向量为→v水(3,1)(向东 3 m/s向北 1 m/s)那么船相对水流的速度向量为→v相对(8?3,0?1)(5,?1)表示向东 5 m/s、向南 1 m/s。三、向量内积向量的内积又称为点积Dot Product内积是两个向量对应分量相乘后求和的一个标量值。设定→a(x1,y1),→b(x2,y2)那么有→a?→bx1x2y1y2从几何意义上讲向量的内积还可以表示如下→a?→b|→a||→b|cosθ具体的证明可以参考下图将坐标系进行旋转后可完成推理其中 ?θ 表示两个向量的夹角根据余弦定理可以得出假定模长不变夹角越小内积则越大当夹角为90度时两个向量垂直此时内积为0内积的本质等同于向量的投影和模长的乘积坐标旋转时内积保持不变应用示例我们在电商平台上浏览产品详情时经常会看到相似产品这样的页签其中会给我们推荐相关的产品。这种商品推荐的场景便可以基于余弦相似度来实现余弦相似度的核心是仅考虑向量的方向一致忽略模长的影响。具体实现如下将商品信息特征化表述包括类目品牌价格区间颜色 / 尺寸 / 材质商品标题/描述图片特征特征向量归一化上述的商品特征可以基于Embedding、CNN等算法来提取为特征值。这些特征值拼接后形成一个统一的商品向量如下→g[x类目,x品牌,x价格,x尺寸,x颜色,x图谱特征..]由于不同维度的特征值其模长无法统一我们需要将其进行归一化L2归一对于其中的xk其归一后的值为Xkxk√x21x22?x2nL2归一化使用欧几里得范数来计算最终得到特征向量为→G[X类目,X品牌,X价格,X尺寸,X颜色,X图谱特征..]归一化后∥G∥1余弦相似度就简化成两个单位向量的点积只比较方向特征分布模式消除了特征值大小的影响。计算商品特征向量的相似度获得最相似的N个商品通过计算向量的点积来比较相似度simulaty→G?→G2向量点积在机器学习中常用于评估特征的方向相似性四、向量外积向量的外积又称为叉积Cross Product两个向量的外积是一个同时垂直于两者的向量。设定→a(x1,y1),→b(x2,y2)那么有→a×→b→c向量→c的模长→c∣→a∣∣→b∣sinθ在几何意义上等同与两个向量为边的平行四边形的面积。向量→c的方向垂直于两个向量构成的平面。如下图所示image-20250910113835076向量→c的方向除了垂直之外还需要遵循右手螺旋定则也就是对于→a×→b→c来说右手四指方向从 a 转向 b大拇指所指方向就是 c 的方向。所以→a×→b和→b×→a的结果是相反的即向量外积不满足交换律。从几何图形上看向量的外积可以垂直于两个向量组成的平面当向量平行共线时向量的外积为0。需要注意的是向量的外积仅适用于三维图形在四维及更高维空间中垂直于两个向量的方向不唯一而是一个高维子空间因此无法用一个单一向量来表示。应用示例物理学上我们通过力矩Torque来描述一种让物体转起来的能力。比如你用扳手拧螺丝用力的大小、角度和离螺丝中心的距离都会影响拧动的效果。同样的力扳手越长离中心越远越容易拧动——因为力矩更大。力矩的公式如下→τ→r×→Fr 是从旋转中心到施力点的位置向量??施加的作用力力矩是向量 r 和向量 F的外积向量力矩的方向由右手定则决定表示旋转轴的方向力矩的大小等于|→r|?|→F|?sinθ也就是力度、垂直距离、和角度三者叠加的结果。五、小试牛刀下面使用 numpy 来实现本文提到的向量加减法、向量内积和外积计算。代码示例import numpy as np# 定义两个三维向量a np.array([3, 4, 0])b np.array([4, 0, 3])# 1?? 向量加法add a bprint(加法 a b , add)# 2?? 向量减法sub a - bprint(减法 a - b , sub)# 3?? 向量内积点积dot np.dot(a, b)print(内积 a · b , dot)# 4?? 特征归一化L2归一a_norm a / np.linalg.norm(a)b_norm b / np.linalg.norm(b)print(归一化后的 a , a_norm)print(归一化后的 b , b_norm)# 5?? 归一后的余弦相似度cos_sim np.dot(a_norm, b_norm)print(归一后的余弦相似度 , cos_sim)# 6?? 向量外积叉积cross np.cross(a, b)print(外积 a × b , cross)执行上述程序输出结果如下加法 a b [7 4 3]减法 a - b [-1 4 -3]内积 a · b 12归一化后的 a [0.6 0.8 0. ]归一化后的 b [0.8 0. 0.6]归一后的余弦相似度 0.48外积 a × b [ 12 -9 -16]六、小结向量的概念早在中学数学、物理学中就已经能接触到了理解向量和空间几何的结合非常重要。从最简单的加减法就能体会到基本相对量的价值向量内积更是各种推荐算法、特征相似度计算的基础范式向量外积在机械工程学中大行其道等等这些无一证明了向量在现实的数学应用中的重要地位。