【读论文】2011相对论钟差修正

SANZ SUBIRANA J, JUAN ZORNOZA J M, HERNÁNDEZ-PAJARES M. Relativistic Clock Correction[EB/OL]. (2011)[2026-07-19].相对论钟差修正分类基础理论标题相对论钟差修正作者西班牙加泰罗尼亚理工大学 J.桑斯·苏维拉纳、J.M.胡安·佐尔诺萨、M.埃尔南德斯-哈雷斯难度中级发布年份2011将两台完全相同的原子钟一台放置在卫星上、一台安置于地面二者走时速率会存在差异。该偏差来源于广义相对论的引力势差效应以及狭义相对论的相对运动效应该时间修正量可拆分为两部分[ 1 ] ^{[1]}[1]恒定修正分量卫星出厂阶段预先调整仅由卫星轨道标称半长轴决定通过在出厂时修改卫星振荡器频率完成补偿f 0 ′ − f 0 f 0 1 2 ( v c ) 2 △ U c 2 ≃ − 4.464 ⋅ 10 − 10 (1) \frac{f_0-f_0}{f_0}\frac{1}{2} \left( \frac{v}{c} \right) ^2\frac{\triangle U}{c^2} \simeq -4.464 \cdot 10^{-10} \tag{1}f0​f0′​−f0​​21​(cv​)2c2△U​≃−4.464⋅10−10(1)≃ \simeq≃表示渐近相等代表忽略高阶小量、泰勒展开只保留主项后的等式周期性偏心修正分量由接收机软件实时计算补偿由轨道偏心率带来周期性变化必须在用户接收机中实时施加Δ r e l − 2 r s a t ⋅ v s a t c 2 (2) \Delta_{rel}- 2\, \frac{\mathbf{r}^{sat} \cdot \mathbf{v}^{sat}}{c^2} \tag{2}Δrel​−2c2rsat⋅vsat​(2)式中r s a t \mathbf{r}^{sat}rsat、v s a t \mathbf{v}^{sat}vsat分别为惯性坐标系下卫星位置矢量单位米、速度矢量单位米/秒[ 2 ] ^{[2]}[2]。位置与速度的标量积可在地心惯性系CRS或地固坐标系TRS/ECEF下求解若采用地固坐标系卫星速度需要扣除地球自转牵连速度ω E × r s a t \boldsymbol \omega_E \times \mathbf{r}^{sat}ωE​×rsat但该项与位置矢量作标量积后会自动抵消不影响计算结果。格洛纳斯GLONASS与GPS处理方式不同GLONASS会将轨道偏心相对论修正项直接编入卫星广播钟差参数τ n \tau_nτn​、γ n \gamma_nγn​下发用户接收机无需额外计算式(2)[ 1 ] ^{[1]}[1]。图1展示忽略式(2)相对论修正带来的定位误差若不施加该修正测距误差最高可达13米垂直定位误差会超过20米。图1说明翻译图1 相对论修正对测距、定位域产生的影响水平定位误差↑垂直定位误差↓蓝色点为启用式(2)相对论修正的结果红色点为未启用修正的结果。下图为测距误差随时间变化曲线单位为米。注释[1] 基准标称频率f 0 10.23 MHz f_010.23\ \text{MHz}f0​10.23MHz频率偏移量Δ f 0 4.464 ⋅ 10 − 10 f 0 4.57 ⋅ 10 − 3 Hz \Delta f_0 4.464 \cdot 10^{-10}\, f_04.57 \cdot 10^{-3}\ \text{Hz}Δf0​4.464⋅10−10f0​4.57⋅10−3Hz因此卫星发射基准频率设为f 0 ′ 10.22999999543 MHz f_010.22999999543\ \text{MHz}f0′​10.22999999543MHz。注f 0 ′ f_0f0′​是卫星实际发射的信号频率f 0 f_0f0​是地面观测得到的等效接收频率地面观测会发现卫星时钟表观走快等效频率提升4.57 ⋅ 10 − 3 Hz 4.57 \cdot 10^{-3}\ \text{Hz}4.57⋅10−3Hz对应每日约快38微秒换算关系Δ f / f Δ T / T \Delta f/f\Delta T/TΔf/fΔT/T。该恒定相对论效应在卫星出厂时通过压低振荡器频率完成补偿。[2] 在密切轨道模型下满足恒等式μ a e sin ⁡ E r ⋅ v \sqrt{\mu a}\,e\sin E{\mathbf r} \cdot {\mathbf v}μa​esinEr⋅v代入式(2)可得等价形式Δ r e l − 2 r ⋅ v c 2 − 2 μ a c 2 e sin ⁡ ( E ) \Delta_{rel}- 2\, \frac{\mathbf{r} \cdot \mathbf{v}}{c^2} -2\,\frac{\sqrt{\mu\, a}}{c^2} \, e\, \sin(E)Δrel​−2c2r⋅v​−2c2μa​​esin(E)其中μ \muμ为地心引力常数c cc为真空光速a aa、e ee分别为密切轨道的半长轴与偏心率E EE为偏近点角。参考文献[1] ASHBY N. Relativity in the Global Position System[J]. Living Reviews in Relativity, 2003, 6(1).页面来源地址